Contexte

Dans le cadre du Programme Simulation du CEA/DAM, il est nécessaire de bien décrire le comportement hydrodynamique des plasmas créés par des lasers très énergétiques. Cette problématique est liée à l’installation laser mégajoule du CEA qui permet de porter la matière à des conditions extrêmes de température et de pression. En effet, lorsqu’une cible est irradiée par des lasers énergétiques, leur énergie est très rapidement absorbée par la matière, qui passe à l’état de plasma. Par conduction thermique électronique, cette source d’énergie est ensuite diffusée. Cette phénoménologie est assez bien connue, mais se révèle très complexe dans ce cadre précis car les gradients de température induits par le dépôt d’énergie laser mettent en défaut les théories classiques du transport. Des effets non locaux se produisent, modifiant de façon conséquente les profils de température et de densité. De plus, la présence de gradients croisés de température et de densité génère des champs magnétiques relativement importants qui vont aussi influer sur la conduction thermique. Une modélisation correcte de l’interaction laser-plasma nécessite donc le couplage d’un modèle de transport électronique non local avec une description magnétohydrodynamique du plasma. Cette thématique est actuellement en plein essor avec l’apparition de nouveaux modèles pour la conduction thermique électronique non locale et de nouvelles expressions pour les coefficients de transport. Leur couplage reste un domaine de recherche très actif aussi bien du côté de la modélisation physique que numérique.

Objectif

Dans le cadre de ce travail postdoctoral, nous cherchons à élaborer une modélisation cohérente du transport électronique en présence de champ magnétique auto-généré ou imposé. Pour ce faire, un code de propagation laser 3D couplé à un module de magnétohydrodynamique et à un module de conduction thermique sera utilisé. Le module de magnétohydrodynamique actuel est basé sur un modèle de magnétohydrodynamique idéale qui sera complété avec les termes résistifs manquants. Les études portent à la fois sur l’implémentation de modèles dans un environnement multi-physique, sa stabilité numérique et les performances. Les aspects de conductivité thermique non locale seront abordés dans un second temps. L’application à des expériences d’interaction laser-plasma sera aussi abordée.

[1] M. Wolff, S. Jaouen, & L.-M. Imbert-Gérard (2011). Conservative numerical methods for a two-temperature resistive MHD model with self-generated magnetic field term. Esaim: Proceedings, 32, 195-210.

Lieu du postdoctorat : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Contact : Stéphane Jaouen (stephane.jaouen@cea.fr) et Pascal Loiseau (pascal.loiseau@cea.fr).

Contexte

Des méthodes utilisant des fonctions de base de type courbes de Bézier ou encore B-splines rationnelles non uniformes (NURBS) pour une discrétisation Galerkin discontinue (DG) des équations de la mécanique des fluides ont émergées, couplées avec des techniques de raffinement de maillage adaptatif (AMR). Cependant, même si ces schémas ont été implémentés avec succès et leur propriétés analysées, plusieurs problématiques gravitant autour de cette thématique restent à étudier pour permettre leur application à des problèmes complexes, comme la génération de maillages courbes de bonne qualité pour la simulation, ainsi que la visualisation et le post-traitement efficace de solutions d’ordres élevés définies sur des maillages avec raffinement local.

Objectifs

L’objectif de ce stage concerne la capacité à visualiser les solutions DG d’ordres élevés sur un maillage avec raffinement local. La visualisation du maillage courbe en entrée, du maillage AMR en sortie et de la solution DG, ont tous les trois fait l’objet de développements récents dans l’outil VTK, utilisé par beaucoup de logiciels graphiques. Pour ce faire, le stagiaire sera intégré à une équipe du CEA qui développe Themys (https://gitlab.com/themys/themys), un outil open-source basé sur ParaView, interface graphique de post-traitement en VTK. Les développements réalisés pourront être validés en visualisant les solutions générées par le code Igloo (https://gitlab.inria.fr/igloo/igloo/-/wikis/home), code de recherche open-source maintenu par l’Inria, et comparés au logiciel GLvis utilisé actuellement pour la visualisation. La capacité à voir toutes les informations contenues dans le maillage et les solutions DG est un besoin important pour valider le code sur des cas test classiques et analyser les résultats sur des problèmes physiques spécifiques. Par ailleurs, lorsque les sorties AMR sont traitées de manière non-structurée, des post-traitements ne permettent pas un rendu fidèle au niveau des non-conformités aux bords des zones de raffinement. Une étude portera sur la manière la plus adapté de représenter la sortie dans la structure VTK, à savoir une vision basée soit sur des arbres comme les HyperTreeGrid (HTG), soit sur des patchs qui se superposent ou non.Dans tous les outils appréhendés et toutes les contributions réalisées, un souci important sera attendu sur la qualité logicielle, que ce soit la documentation du code, la mise en place de tests de non-régression, la compréhensibilité du code. Ces contributions feront l’objet de revues de codes dans des outils de collaboration type GitLab. Un effort sera fait pour reverser ces développements dans des logiciels open-source, largement partagés dans la communauté lorsque c’est possible.

Conformément aux engagements pris par le CEA en faveur de l’intégration des personnes handicapées, cet emploi est ouvert à toutes et à tous. Le CEA propose des aménagements et/ou des possibilités d’organisation pour l’inclusion des travailleurs handicapés.Participant à la protection nationale, une enquête administrative est réalisée pour tous les collaborateurs du CEA afin d’assurer l’intégrité et la sécurité de la nation.

Type de stage : stage M2

Formation et compétences souhaitées :
Langages requis : C++, shell UNIX (Bash ou équivalent)
Langages qui sont un plus : python, MPI
Logiciels qui sont un plus : Visualisation (ParaView, GLVis ou équivalent), Editeur de texte (VSCode, Vim, Emacs ou équivalent), GitLab ou GitHub
Compétences requises : Visualisation scientifique

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 6 mois.

Date de démarrage souhaitée : 03/2025

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Maxime Stauffert (maxime.stauffert@cea.fr) et Franck Ledoux (franck.ledoux@cea.fr)

Contexte

Des méthodes utilisant des fonctions de base de type courbes de Bézier ou encore B-splines rationnelles non uniformes (NURBS) pour une discrétisation Galerkin discontinue (DG) des équations de la mécanique des fluides ont émergées, couplées avec des techniques de raffinement de maillage adaptatif (AMR). Cependant, même si ces schémas ont été implémentés avec succès et leur propriétés analysées, plusieurs problématiques gravitant autour de cette thématique restent à étudier pour permettre leur application à des problèmes complexes, comme la génération de maillages courbes de bonne qualité pour la simulation, ainsi que la visualisation et le post-traitement efficace de solutions d’ordres élevés définies sur des maillages avec raffinement local.

Objectifs

L’objectif de ce stage est d’adapter un outil de génération de maillage afin qu’il puisse manipuler des maillages courbes, prioritairement de Bézier, idéalement NURBS. Pour ce faire, le stagiaire sera intégré à une équipe du CEA qui développe plusieurs outils open-source autour du maillage : Magix3D, GMDS, Frame, etc. Ces maillages pourront être testés en simulation à l’aide du code Igloo (https://gitlab.inria.fr/igloo/igloo/-/wikis/home), code de recherche open-source maintenu par l’Inria et qui permet de faire des simulations en mécanique des fluides à l’aide de méthodes DG-NURBS avec AMR. Aujourd’hui le code Igloo utilise la librairie MFEM pour générer des maillages qu’il prend en entrée.D’un point de vue technique, le travail consistera dans un premier temps à munir la bibliothèque open-source HoneyComb (https://github.com/LIHPC-Computational-Geometry/honeycomb), écrite dans le langage de programmation Rust, de la notion de plongement courbe en visant successivement une représentation sous forme de patchs de Béziers, puis de patchs NURBS. Ces représentations seront ensuite utilisées pour écrire un ou plusieurs algorithmes permettant de courber des maillages linéaires afin de s’adapter à différentes informations géométriques (modélisation géométrique de type Brep, ligne de niveaux dans un champ scalaire, …). Un travail dans le code Igloo permettant de lire en entrée des maillages venant de la bibliothèque HoneyComb est à prévoir.Dans tous les outils appréhendés et toutes les contributions réalisées, un souci important sera attendu sur la qualité logicielle, que ce soit la documentation du code, la mise en place de tests de non-régression, ou encore la compréhensibilité du code. Ces contributions feront l’objet de revues de codes dans des outils de collaboration type GitLab. Un effort sera fait pour reverser ces développements dans des logiciels open-source, largement partagés dans la communauté lorsque c’est possible.

Conformément aux engagements pris par le CEA en faveur de l’intégration des personnes handicapées, cet emploi est ouvert à toutes et à tous. Le CEA propose des aménagements et/ou des possibilités d’organisation pour l’inclusion des travailleurs handicapés.Participant à la protection nationale, une enquête administrative est réalisée pour tous les collaborateurs du CEA afin d’assurer l’intégrité et la sécurité de la nation.

Type de stage : stage M2

Formation et compétences souhaitées :
Langages requis : Rust, shell UNIX (Bash ou équivalent) Langages qui sont un plus : C++, Python Logiciels qui sont un plus : Visualisation (ParaView, GLVis ou équivalent), Editeur de texte (VSCode, Vim, Emacs ou équivalent), GitLab ou GitHub
Compétences requises : Géométrie algorithmique et représentation de données, test de logiciels.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 6 mois.

Date de démarrage souhaitée : 03/2025

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Maxime Stauffert (maxime.stauffert@cea.fr) et Franck Ledoux (franck.ledoux@cea.fr)

Contexte

Soit $\cal S$ une sphère dans $\mathbb{R}^3$ et $(P_i, r_i) \in {\cal S} \times \mathbb{R},\quad 1\leq i \leq d$. Le problème de l’interpolation sphérique est la recherche d’une fonction $F$ définie sur $\cal S$ et telle que $F(P_i) = r_i,\quad 1\leq i\leq d$. On demandera, de plus, que la fonction $F$ ait certaines propriétés. En pratique, les valeurs $r_i$ sont des résultats provenant de mesures d’expériences, par exemple, géophysiques, météorologiques, ou médicales. La surface $\cal S$ peut être un ellipsoïde ou une surface équivalente à une sphère. Le but final est donc de pouvoir calculer une valeur approchée de $F$ sur tous les points de la surface.

Objectifs

Le stage se déroulera en plusieurs étapes :

• Se familiariser avec la technique d’interpolation par des splines, splines cubiques, splines 2D, produit tensoriel de splines.
• Parcourir les méthodes les plus importantes d’interpolation sphérique, proposées dans la littérature et programmer en C++ au moins deux méthodes basées sur les coordonnées sphériques ou cylindriques à l’aide de splines cubiques 2D.
• On peut aussi, à la place d’une interpolation, chercher une fonction $F$ vérifiant $F(P_i) ≈ r_i$ avec des conditions plus contraignantes sur, par exemple, la régularité de $F$. C’est alors un problème d’approximation dont on peut trouver une solution par des méthodes de type moindres carrés.
• L’étape suivante sera de se familiariser (rappel ou découverte) avec la technique des harmoniques sphériques et de les utiliser pour résoudre le problème de l’approximation sur une sphère (c’est la généralisation du développement en série de Fourier, lorsque le cercle est remplacé par une sphère).
• Enfin, la dernière étape, sera, sur des cas simples, de comparer les résultats d’approximations splines 2D avec ceux obtenus à l’aide des harmoniques sphériques.

Type de stage : stage de fin d’études Master 2 / école d’ingénieurs

Langages utilisés : C++, Python, LaTeX

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 4 à 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Stéphane Jaouen (stephane.jaouen@cea.fr) et Mohamed Khelifi (mohamed.khelifi@cea.fr).

Contexte

Une méthode partitionnée a récemment été développée au CEA DAM [2]. Elle permet d’améliorer la modélisation des ondes de souffle qui intéragissent avec des solides déformables en découpant le domaine d’étude en plusieurs morceaux (fluide et solide(s)) et en appliquant un pas de temps local à chaque zone. Cette méthode permet un couplage entre la dynamique des gaz (équations d’Euler) et des modèles solides reposant sur l’équations de l’hyperélasticité isotrope en 1D, 2D et 3D. Elle respecte également les propriétés des schémas volumes finis sous-jacents utilisés [1,3] (conservation, stabilité et consistance) ce qui est important pour nous compte tenu de la présence de chocs. Les paramètres numériques, utilisés pour résoudre chaque sous-domaine, peuvent ainsi être optimisés et un gain de temps de calcul est observé sur différentes applications comme c’est le cas ici par exemple : https://www-lihpc.cea.fr/videos/2024-2D-FSI-on-plate.webm.

[1] J. Breil, G. Georges, and P.-H. Maire. 3D cell-centered Lagrangian second order scheme for the numerical modeling of hyper- elasticity system. Computers & Fluids, 207 :104523, 2020.

[2] Alexandre Gangloff. Couplage spatial et temporel de solveurs volumes finis : application au couplage fluide / structure. Tech- nical report, CEA/DAM/DIF, Bruyères-le-Châtel, 2023. Tuteurs du stage : Teddy Chantrait ; Stéphane del Pino ; Emmanuel Labourasse (CEA DAM).

[3] G. Kluth and B. Després. Discretization of hyperelasticity on unstructured mesh with a cell-centered Lagrangian scheme. Journal of Computational Physics, 229(24) :9092–9118, 2010.

Objectifs

L’objectif principal de ce stage est d’étendre la méthode mentionnée ci-dessus à un couplage fluide-solide qui comporte un modèle anisotrope dans la zone solide. Cette extension vise ainsi, à améliorer la modélisation des effets des ondes de souffle sur des structures déformables qui ont un comportement orthotrope. Cela peut être le cas à titre d’exemples, lorsque des structures en bois ou en matériaux composites sont modélisées. Un modèle matériau élastique anisotrope sera considéré dans un premier temps. Le/la stagiaire proposera une méthode numérique en présence de ce type de modèle. Il/elle mènera une analyse des propriétés mathématiques de la méthode de couplage, dans le cas d’un pas de temps local à chaque zone. L’objectif est de conserver les propriétés du modèle continu au niveau discret avec un intérêt particulier pour la stabilité, la conservation, et la consistance du schéma numérique. Après une analyse théorique, le/la stagiaire mettra en œuvre la méthode retenue en 2D et en 3D. Il réalisera des simulations numériques pour tester la solution développée. Ces simulations serviront à valider l’approche et à identifier d’éventuels ajustements nécessaires pour améliorer la précision et l’efficacité des calculs.

Type de stage : année de césure ou dernière année d’école d’ingénieur et/ou master 2 recherche/ professionnel.

Spécialités : Mathématiques appliquées et mécanique.

Durée : idéalement 6 mois.

Lieu : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Teddy Chantrait (teddy.chantrait@cea.fr) - référent, et Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr)

Contexte

Dans le cadre de ses activités de lutte contre la prolifération nucléaire et le terrorisme, le CEA s’intéresse à l’effet des ondes de souffle sur des structures déformables. On peut penser, à titre d’exemple, à l’estimation de la tenue résiduelle d’une construction soumise à une charge explosive. Le recours à la simulation de ce type de phénomènes est fréquent. Elle soulève de nombreux problèmes numériques car elle implique de faire cohabiter différentes échelles d’espace et de temps. En effet, la vitesse de propagation des ondes varie fortement dans les matériaux impliqués (par exemple acier, béton, air, etc.) et la taille des différents constituants à modéliser est variée (par exemple habitations, murs, vitres, portes, treillis métalliques, etc.).

Nous avons récemment développé, au CEA DAM, une méthode partitionnée [1] permettant d’améliorer ce type de modélisation en découpant le domaine d’étude en plusieurs morceaux (fluide et solide(s)) et en appliquant un pas de temps local pour chaque zone. Cette méthode permet un couplage entre la dynamique des gaz (équations d’Euler) et un modèle solide (équations de l’hyperélasticité) en 2D et 3D. Cette approche respecte également les propriétés du schéma volumes finis utilisé (conservation, stabilité et consistance) et permet d’optimiser les paramètres numériques utilisés pour résoudre chaque problème local. On observe, en particulier, un gain de temps de calcul significatif. Cette méthode est d’ordre 1 en temps avec une extension à l’ordre 2 en cours de développement.

[1] Alexandre Gangloff. Couplage spatial et temporel de solveurs volumes finis : application au couplage fluide / structure. Technical report, CEA/DAM/DIF, Bruyères-le-Châtel, 2023. Tuteurs du stage : Teddy Chantrait ; Stéphane del Pino ; Emmanuel Labourasse (CEA DAM).

Objectifs

L’objectif principal de ce stage est d’étendre la méthode partitionnée développée au CEA DAM à un couplage fluide-solide élasto-plastique. Cette extension vise à améliorer la modélisation des effets des ondes de souffle sur des structures déformables en intégrant un comportement plastique dans certaines zones de la simulation. La modélisation du comportement plastique s’inspirera de [2, 3]. On considère, au moins dans un premier temps, un comportement parfaitement plastique. Le stagiaire proposera une méthode numérique pour ce couplage. Il mènera une analyse des propriétés mathématiques de cette méthode de couplage, dans le cas d’un pas de temps est local à chaque zone. L’objectif est de conserver les propriétés du modèle continu au niveau discret avec un intérêt particulier pour la stabilité, la conservation, et la consistance du schéma numérique. Après l’analyse théorique, le stagiaire mettra en œuvre la méthode en 2D et en 3D. Il réalisera des simulations numériques pour tester la méthode développée. Ces simulations serviront à valider l’approche et à identifier d’éventuels ajustements nécessaires pour améliorer la précision et l’efficacité des calculs. En fonction de l’avancement du stage, le stagiaire pourra explorer l’extension de la méthode à l’ordre 2 en temps et en espace.

[2] GH Miller and P Colella. A high-order eulerian godunov method for elastic–plastic flow in solids. Journal of computational physics, 167(1) :131–176, 2001.

[3] Bradley J Plohr and David H Sharp. A conservative formulation for plasticity. Advances in Applied Mathematics, 13(4) :462–493, 1992.

Type de stage : année de césure ou dernière année d’école d’ingénieur et/ou master 2 recherche/ professionnel.

Spécialités : Mathématiques appliquées.

Durée : idéalement 6 mois.

Lieu : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Encadrement scientifique:

• Teddy Chantrait (teddy.chantrait@cea.fr) - référent,
• Alexandre Gangloff (alexandre.gangloff@cea.fr),
• Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).
  
  

Contexte

Pour répondre aux besoins de ses programmes, le CEA développe des méthodes numériques pour des modèles physiques très variés. Les simulations numériques des expériences de Fusion par Confinement Inertiel menées au Laser Méga Joule (https://www-lmj.cea.fr/) nécessitent, par exemple, de combiner hydrodynamique, conduction thermique, transport de particules et électro-magnétisme. Grâce à la notation de Voigt, ces modèles peuvent être écrits sous un formalisme abstrait. En appliquant la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume [1]) à cette forme abstraite, on dispose d’une méthode numérique générique permettant de simuler l’ensemble de ces phénomènes sur des maillages généraux (non-structurés, avec pas ou peu de contraintes sur la géométrie des éléments). Les qualités intrinsèques de ce schéma (notamment la dualité discrète entre le gradient et la divergence) permettent à cette méthode numérique de respecter par construction des propriétés très importantes des modèles (équilibres, régimes assymptotiques, involutions).

[1] François Hermeline. A finite volume method for second-order elliptic equations. (Une méthode de volumes finis pour les équations elliptiques du second ordre.). C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 1998.

Objectifs

Le candidat choisi s’appropriera le formalisme et la méthode numérique DDFV. Il écrira la discrétisation DDFV du modèle générique. Il fera l’analyse numérique de cette méthode. Il montrera en particulier les propriétés qui sont valables à ce niveau d’abstraction. Il appliquera ensuite ce formalisme aux équations instationnaires de type onde (acoustique, équations de Maxwell, élasticité linéaire, équation de Dirac,…). Il montrera comment la méthode bénéficie à la discrétisation de ces différents modèles en terme de respect des involutions. Enfin, il implémentera la méthode, de la manière la plus générique possible, dans un code en C++ existant, et l’expérimentera sur des problèmes disposant de solutions exactes.

Type de stage : année de césure ou dernière année d’école d’ingénieur et/ou master 2 recherche/ professionnel.

Spécialités : Mathématiques appliquées.

Durée : idéalement 6 mois.

Lieu : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Encadrement scientifique:

• Julie Patela (julie.patela@cea.fr) - référent,
• Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).
• François Hermeline (francois.hermeline@cea.fr)
  
  

Travail demandé

Les modèles multiphasiques regroupent plusieurs configurations physiques. La situation qui nous intéresse est celle de particules solides dans un gaz. Dans ce genre de situation un modèle communément admis est du type équation de Vlasov pour les particules couplée avec une équation d’Euler pour le fluide. Dans le contexte de nos applications, le fluide est considéré comme compressible. Le travail demandé sera d’analyser la méthode numérique dans la référence suivante:

1. Martin Campos Pinto, Frédérique Charles, From particle methods to forward-backward Lagrangian schemes,The SMAI Journal of Computational Mathematics, Volume 4 (2018), pp. 121-150, et de l’adapter pour un modèle gaz-particules de la référence suivante
2. L. Boudin, L. Desvillettes and R. Motte, A modeling of compressible droplets in a fluid, Commun. Math. Sci., 1 (2003), 657-669

Connaissances préalables

Ce stage fait principalement appel à des connaissances en méthodes numériques pour la résolution d’EDP et plus particulierement sur la résolution numérique d’équations hyperboliques, ainsi qu’à une pratique du langage C/C++.

Type de stage : dernière année d’école d’ingénieur et/ou master Recherche.

Spécialité : mathématiques appliquées.

Prolongation en thèse : oui

Durée : 6 mois.

Lieu : Centre CEA, DAM, DIF situé 6 rue de la Piquetterie à Bruyères Le Châtel en Essonne, et desservi par cars CEA notamment depuis Paris.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Christophe Buet (christophe.buet@cea.fr) et Bruno Després (bruno.despres@sorbonne-universite.fr)

Travail demandé

L’objectif de ce stage est la mise au point d’un schéma de type Volumes Finis en dimension 2 sur un maillage quelconque pour un système hyperbolique de lois de conservation approchant l’équation de transport des photons. Cette approximation, appelée modèle $P_N$ , est pour la variable vitesse basée sur un développement tronqué à l’ordre $N$ de la solution sur la base des harmoniques sphériques et $N$ est le nombre de sous familles d’harmoniques sphériques choisies. Le schéma sera du type Volumes Finis avec un solveur de Riemann défini aux sommets du maillage. Un tel schéma permet d’être ”Asymptotic-Preserving” (AP), c’est à dire permet de capturer sur maillage grossier et quelconque la limite de diffusion de systèmes de lois de conservation avec terme source raide. Pour $P_1$ l’étude du schéma a déjà été faite. Il s’agit donc d’étendre cette méthode pour les valeurs de $N > 1$.

Connaissances préalables

Ce stage fait principalement appel à des connaissances en méthodes numériques pour la résolution d’EDP et plus particulierement sur la résolution numérique d’équations hyperboliques, ainsi qu’à une pratique du langage C/C++.

Type de stage : dernière année d’école d’ingénieur et/ou master Recherche.

Spécialité : mathématiques appliquées.

Durée : idéalement 6 mois.

Lieu : Centre CEA, DAM, DIF situé 6 rue de la Piquetterie à Bruyères Le Châtel en Essonne, et desservi par cars CEA notamment depuis Paris.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Christophe Buet (christophe.buet@cea.fr) et Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr)

Contexte

L’unité d’accueil est spécialisée dans le développement de codes numériques dont les problématiques nécessitent une utilisation performante de l’architecture d’un supercalculateur. Pour que les simulations numériques puissent se terminer en des temps suffisamment raisonnables, les algorithmes (schéma numérique, traitement géométrique, etc.) doivent être suffisamment optimisés. Cette optimisation porte généralement sur (i) la complexité sous-jacente de l’algorithme et (ii) la parallélisation de l’algorithme à l’aide d’outils informatique (MPI / OpenMP / Cuda) menant à une utilisation intensive des cœurs de calcul.

Le passage d’une simulation à une échelle supérieure (2D à 3D, augmentation drastique de la dimension du problème, etc.), oblige à redévelopper certains algorithmes afin de réduire leur complexité.

Objectifs

Au sein de l’unité d’accueil, un des codes de simulation numérique nécessite le calcul de distance à une frontière (appelée interface) entre deux matériaux afin d’appliquer des modèles physiques dans un voisinage de cette interface. Actuellement, ce calcul se base sur la distance euclidienne, très coûteuse en temps calcul lorsque la dimension du problème augmente. Une solution possible est alors de calculer cette distance à l’aide de l’équation eikonale basée sur le système d’équations Hamilton-Jacobi. Cette équation peut être résolue par les méthodes Fast Marching (FM) dont la complexité de calcul est moindre que la méthode euclidienne.

Dans un premier temps, l’étudiant(e) développera une des méthodes Fast Marching (FM) sur un cas simplifié (2D, géométrie simple) et étudiera les performances obtenues par rapport aux paramètres de parallélisation (nombre de cœurs/nœuds) comparés à la méthode par distance euclidienne. Cette méthode pourra être réécrite pour s’adapter de manière optimale à la mémoire partagée (à l’aide de la librairie OpenMP).

Dans un second temps, l’étudiant(e) réalisera une extension au cas 3D et pourra proposer d’autres méthodes FM plus adaptées dans certaines conditions.

Type de stage : stage M2

Profils souhaités :
Étudiant en mathématiques appliquées.
Goût prononcé pour le développement informatique (C++, Python).
Une expérience sur les outils de parallélisation (OpenMP / MPI / Cuda) serait un plus.

Durée : 6 mois

Lieu : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Stéphane Jaouen (stephane.jaouen@cea.fr) et Nicolas Gilet (nicolas.gilet@cea.fr)

Contexte

La génération de maillages est une étape essentielle dans le cycle de simulation numérique durant lequel un ingénieur va modéliser un domaine d’étude – commme une voiture, une turbine, un moteur d’avion, y apposer des conditions physiques – valeurs de température, pression, type de matériaux, puis exécuter un code de simulation approprié à son problème (structure, fluide, aérodynamique,…) avant d’analyser les résultats obtenus. L’étape essentielle oubliée volontairement dans ce processus est l’étape de maillage qui intervient avant l’exécution du code de simulation. Nous considérons ici la génération de maillages polygonaux en dimension 2 et polyédriques en dimension 3 en s’appuyant sur une approche géométrique robuste et locale. Savoir générer de tels maillages permet de répondre à de nombreuses problématiques, et en particulier celle de la génération de maillage avec couches limites. D’autre part, selon la façon de prescrire les graines du maillages, il est possible de générer des maillages à dominante structurée composés pour partie de quadrangles en 2D et d’hexaèdres en 3D dans des zones d’intérêt pour la simulation. Afin de fournir des performances satisfaisantes et d’exploiter les architectures des processeurs modernes, les algorithmes proposés doivent être parallélisés efficacement pour des architectures dites manycore.

Objectifs

L’objectif de ce stage est de concevoir un algorithme permettant de générer des nuages de points en dimension 2 et 3, puis des maillages polygonaux en dimension 2 et polyédrique en dimension 3 à partir de ces ensembles de points. L’approche suivie, et les choix effectués à chaque instant, doivent permettre une implémentation efficace dans un contexte de parallélisme massivement parallèle en mémoire partagée. L’implémentation proposée sera réalisée dans le langage de programmation Rust, et de nombreux cas d’étude et des analyses de performances devront être menée.

Il nécessitera des développements en langage Rust sur des stations de travail sous Linux et avec accès aux supercalculateurs du CEA DAM si le travail le nécessite. Si les conditions sanitaires le nécessitent, le stage sera réalisé en distanciel. Le stage ouvre à une poursuite possible en thèse.

Type de stage : Etudiant en 3ème année d’école ingénieur ou en Master 2.

Durée : 4 à 6 mois.

Lieu : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Franck Ledoux (franck.ledoux@cea.fr)

Travail demandé

Il s’agirait de faire une étude approfondie d’un schéma cinétique pour l’équation de Navier-Stokes compressible utilisé dans les deux références ci dessous,

• L. Pan and K. Xu,”A Third-order Compact Gas-kinetic Scheme on Unstructured Meshes for Compressible Navier-Stokes Solutions”, J. Comput. Phys. 318 (2016), 327-348.
• Yaqing Yang, Liang Pan, Kun Xu, ”Three-dimensional third-order gas-kinetic scheme on hybrid unstructured meshes for Euler and NavierStokes equations”, Computers and Fluids 255 (2023) 105834.

Le type de schéma cinétique utilisé est basé sur une équation de type Vlasov-BGK. Il est bien connu que lorsque le terme de collision BGK est raide on obtient les équations de Navier-Stokes.

Connaissances préalables

Ce stage fait principalement appel à des connaissances en méthodes numériques pour la résolution d’EDP et plus particulierement sur la résolution numérique d’équations hyperboliques , ainsi qu’à une pratique du langage C/C++. L’étude numérique se fera dans une plateforme de calcul scientifique C++ de la DAM, DIF dédiée à la résolution de problèmes hyperboliques multidimensionnels sur maillages quelconques.

Type de stage : dernière année d’école d’ingénieur et/ou master Recherche/ Pro.

Spécialité : mathématiques appliquées.

Durée : idéalement 6 mois.

Lieu : Centre CEA, DAM, DIF situé 6 rue de la Piquetterie à Bruyères Le Châtel en Essonne, et desservi par cars CEA notamment depuis Paris.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnités de logement & de fin de stage.

Contact: Christophe Buet (christophe.buet@cea.fr) et Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr)

Contexte

Dans le cadre de ses activités, le CEA/DAM développe des méthodes numériques et des codes de calculs permettant la simulation de problèmes de transport de neutrons. Parmi les nombreuses méthodes existantes dans la littérature, les approches de type Monte-Carlo, basées sur des tirages de nombres aléatoires, sont privilégiées notamment en raison de leur facilité de mise en œuvre et leur faible coût de calcul en grande dimension d’espace. Néanmoins, le bruit statistique inhérent à ces méthodes peut s’avérer problématique. Aujourd’hui, la montée en puissance et les nouvelles architectures des infrastructures informatiques rendent abordables les méthodes déterministes, basées sur une discrétisation de l’espace des phases, jusqu’à présent jugées trop coûteuses en temps de calcul. Dans le cadre de ce stage, nous souhaitons évaluer une de ces méthodes, la méthode PN, dans laquelle l’espace des phases est discrétisé par une approximation en harmoniques sphériques. Cette méthode a notamment déjà été évaluée dans la cadre de la simulation du transport de photons.

Objectifs

L’objectif de ce stage sera donc de :

• concevoir et analyser une méthode numérique de transport neutronique basée sur l’approximation PN en s’appuyant sur des articles de la littérature,
• programmer cette méthode dans une plateforme de développement écrite en C++,
• évaluer le comportement de la méthode sur des applications types (calcul de criticité) en comparaison avec une méthode Monte-Carlo standard,
• étudier les performances de la méthode et les possibilités de parallélisme.

Le candidat doit avoir une bonne formation en mathématiques appliquées aux équations aux dérivées partielles et des connaissances en développement informatique.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 4 à 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement et prime facultative de fin de stage.

Contact : Jérôme Métral (jerome.metral@cea.fr) , Xavier Valentin (xavier.valentin@cea.fr)

La prédiction d’écoulements multi-matériaux est au cœur des missions du CEA. Pour répondre à ces besoins, des méthodes numériques lagrangiennes pour l’hydrodynamique compressible sont développées. Elles garantissent par construction que les interfaces des matériaux s’identifient à des lignes de maillage. Ainsi, elles permettent d’éviter le recours à des modèles de mélange et sont généralement plus précises que leurs équivalents eulériennes. Ces méthodes, ont été conçues dans le cadre de la dynamique rapide (fortement compressible). Pour pouvoir adapter ces méthodes à des régimes faiblement compressibles, nous avons ré- cemment développé au CEA DAM un schéma numérique lagrangien implicite [1] qui est incon- ditionnellement stable. Ce schéma est une variante implicite du solveur acoustique, un solveur de Riemann approché [2, 3]. Ce schéma est d’ordre 1 en temps, ce qui réduit fortement sa précision. D’une part, à pas de temps fixé, l’erreur d’approximation en temps des schémas implicites est plus grande que celle des schémas explicites. D’autre part, cette erreur est proportionnelle au pas de temps, que l’on souhaite choisir très grand pour profiter de la stabilité inconditionnelle. En conséquence, le défaut de précision de la méthode est largement dominé par l’erreur d’intégration temporelle, rapportée à l’erreur d’approximation en espace. L’objectif de ce stage est donc de proposer, d’analyser, de programmer et de tester une ou plusieurs techniques de montée en ordre en temps pour le schéma [1] en dimension 1. Dans un second temps, on pourra s’intéresser aux bénéfices d’une amélioration de la précision en espace, et en dimensions supérieures.

[1] A. Plessier, S. Del Pino and B. Després. Implicit discretization of Lagrangian gas dynamics. sub- mitted, 2022.

[2] S. K. Godunov. Difference methods of solving equations of gas dynamics. Izd-vo Novosibirsk, un-ta, 1962.

[3] E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1999.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières

Durée du stage : 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement et indemnité de fin de stage.

Contact : Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr), Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr)

La prédiction d’écoulements multi-matériaux est au cœur des missions du CEA. Pour des raisons évidentes de robustesse, le référentiel eulérien (maillage fixe) est en général privilégié.

Le CEA s’intéresse à des méthodes d’intégration implicites pour l’hydrodynamique compressible coordonnées eulériennes. Ces méthodes sont en particulier bien adaptées au calcul d’écoulements stationnaires. Ce sont également de bons candidats pour la capture de solutions « tous régimes ». En effet il est indispensable d’impliciter au moins partiellement les équations pour capturer la limite incompressible de la dynamique des gaz.

Nous avons récemment développé au CEA DAM, un schéma numérique lagrangien implicite [1] qui est inconditionnellement stable. Cette méthode est une variante implicite du solveur acoustique, un solveur de Riemann approché [2, 3].

L’objectif de ce stage est d’adapter le schéma [1] au référentiel eulerien en dimension 1. On considérera d’abord une approche lagrange-projection, la phase de projection étant implicitée. On adaptera ensuite ce travail pour obtenir un schéma eulérien direct. L’extension à la dimension 2 d’espace et la montée à l’ordre 2 pourront être envisagées.

[1] A. Plessier, S. Del Pino and B. Després. Implicit discretization of Lagrangian gas dynamics. submitted, 2022.

[2] S. K. Godunov. Difference methods of solving equations of gas dynamics. Izd-vo Novosibirsk, un-ta, , 1962.

[3] E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1999.

Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr), Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).

Contexte

Lors de la résolution d’un problème numérique à l’aide d’une méthode itérative, on cherche à générer une suite $(S_n)_{n \geq 0}$ qui converge vers la solution du problème lorsque n tend vers l’infini.

Le principe d’une méthode d’accéleration de la convergence consiste à transformer la suite $(S_n)_{n \geq 0}$ en une suite $(V_n)_{n \geq 0}$ de même nature, mais qui converge plus vite vers la solution $S$ de notre problème. L’intérêt des méthodes d’accélération de la convergence dépendra de la vitesse avec laquelle la suite initiale converge. Si $(S_n)_{n \geq 0}$ converge lentement, le gain en terme de calcul et donc en temps de calcul peut être appréciable.

Objectifs

Le stage se découpera en plusieurs étapes :

1. Programmer l’\(\varepsilon\)-algorithme (version scalaire) pour l’appliquer à des suites générées par des méthodes de point fixe (méthode de Newton, méthode de dichotomie,…).
2. À partir de la version scalaire, programmer l’\(\varepsilon\)-algorithme pour résoudre une équation non linéaire \(F(X) = 0\) où \(F : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\), et l’appliquer à des exemples sur \(\mathbb{R}^3\).
3. En posant \(u(x)\) pour inconnue, on cherche à résoudre l’équation non linéaire $$\frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} = g(x) \text{ avec } u(0)=u(1)=0$$ – Chercher ou écrire un programme qui calcule une approximation de la solution de cette équation pour un maillage donné. On se contentera de \(n\) mailles de \(\Delta x\) constant. C’est donc une généralisation de \(\mathbb{R}^3\) à \(\mathbb{R}^n\). – Utiliser l’\(\varepsilon\)-algorithme pour accélérer la résolution de l’étape non linéaire. – Généraliser au non stationnaire (l’inconnue est cette fois \(u(t,x)\)) $$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} = g(x) \text{ avec } u(0)=u(1)=0$$ – Application aux équations de diffusion non linéaire.
4. Suivant l’avancée du stage : généraliser à la dimension 2 $$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G(u)}{\partial y^2}= g(x,y)$$

Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 4 à 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Stéphane Jaouen (stephane.jaouen@cea.fr) et Mohamed Khelifi (mohamed.khelifi@cea.fr).

Contexte

Dans le cadre de ses activités de lutte contre la prolifération nucléaire et le terrorisme, le CEA s’intéresse à l’effet d’ondes de souffle sur des structures déformables. On peut penser à titre d’exemple à l’estimation de la tenue résiduelle d’une construction soumise à une charge explosive. Le recours à la simulation de ce type de phénomènes est fréquent. Elle soulève de nombreux problèmes numériques car elle implique de faire cohabiter différentes échelles d’espaces et de temps [1], qui plus est dans un contexte de calcul haute performance (High Performance Computing). En effet, la vitesse de propagation des ondes varie fortement dans les matériaux impliqués (par exemple acier, bétons, air, …) et la taille des différents constituants à modéliser est variée (par exemple habitations, murs, vitres, portes, treillis métalliques, …). Dans l’optique d’améliorer ce type de modélisation, il s’agira dans ce stage d’analyser, d’implémenter et d’évaluer numériquement une approche partitionnée [2]. Elle consiste à découper la zone de simulation en plusieurs morceaux (fluide, solide(s)…) afin d’adapter la stratégie de résolution à la physique locale rencontrée (celle qui agit dans le morceau en question). Ainsi, dans ce type d’approche, chaque zone est résolue sur son domaine de calcul propre avec éventuellement un code de calcul spécifique. Le couplage s’effectue à travers l’interface avec les voisins de la zone considérée. Cette stratégie est alternative à la méthode monolithique pour laquelle un modèle unique s’applique à l’ensemble du domaine de calcul. L’approche partitionnée permet a priori d’optimiser les méthodes numériques utilisées pour résoudre chaque problème local.

Objectifs

Le candidat analysera et mettra en oeuvre une stratégie de couplage entre la dynamique des gaz (équations d’Euler pour la modélisation du souffle) et des modèles variés (Euler, Navier-Stokes, élasticité) en 2D. Il étudiera la possibilité d’impliciter l’intégration en temps dans les domaines où le pas de temps est le plus contraint et étudiera l’éventualité d’un pas de temps local (par zone). Il analysera les propriétés mathématiques de la méthode numérique ainsi construite. Il la mettra en œuvre en dimension deux dans le cadre d’un couplage de codes de calcul parallèle écrit en C++.

[1] Gravouil, A. and Combescure, A. (2001). Multi-time-step explicit–implicit method for non-linear structural dynamics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50(1) :199–225.

[2] Park, K. and Felippa, C. A. (1983). Partitioned analysis of coupled systems.

Formation

• Connaissances en programmation requises (si possible C/C++)
• Connaissances en méthode de résolution approchées (volumes finis, éléments finis, …)
• Connaissances en mathématiques appliquées, en particulier EDP (équations aux dérivées partielles)**

Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Teddy Chantrait (teddy.chantrait@cea.fr)

Les méthodes Monte-Carlo constituent une famille de méthodes numériques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles utilisant le tirage de nombres aléatoires. Au CEA, nous nous intéressons depuis de nombreuses années à l’utilisation de ces méthodes pour la simulation du transport de particules (équation de Boltzmann). Dans le cadre de ce stage, nous nous intéresserons plus particulièrement au problème de transport des photons où la méthode IMC [1] est largement utilisée. Dans sa version initiale, cette méthode est basée sur des approximations d’ordre un en temps et en espace. Nous souhaitons étudier les possibilités d’augmenter la précision de cette méthode en proposant des approximations d’ordre plus élevé en temps et en espace. L’étude se basera par exemple sur les approches abordées dans [2].

L’objectif du stage est de construire le schéma numérique, d’en étudier les propriétés et de développer la méthode dans un code d’étude (C/C++) afin d’en mesurer l’efficacité.

[1] J.A. Fleck et J.D. Cummings, An Implicit Monte Carlo Scheme for Calculating Time and Frequency Dependent Nonlinear Radiation Transport, Journal of Computational Physics, 1971.

[2] R.P. Smedley-Stevenson, R.G. McClarren, Asymptotic diffusion limit of cell temperature discretisation schemes for thermal radiation transport, Journal of Computational Physics, 2015.

Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur et/ou master Recherche/ Pro, spécialité mathématiques appliquées*.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : 4 à 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Jérôme Métral (jerome.metral@cea.fr) , Xavier Valentin (xavier.valentin@cea.fr).

L’objectif de ce stage est la mise au point d’un schéma de type Volumes Finis en dimension 2 sur un maillage quelconque pour un système hyperbolique de lois de conservation approchant l’équation de transport des photons. Cette approximation, appelée modèle PN , est pour la variable vitesse basée sur un développement tronqué à l’ordre N de la solution sur la base des harmoniques sphériques et N est le nombre de sous familles d’harmoniques sphériques choisies. Le schéma sera du type Volumes Finis avec un solveur de Riemann variationnel permettant suivant la formule de quadrature de retrouver un pur solveur nodal soit le solveur classique de Riemann par les faces. Un tel schéma permet d’être ”Asymptotic-Preserving” (AP), c’est d̀ire permet de capturer sur maillage grossier et quelconque la limite de diffusion de systèmes de lois de conservation avec terme source raide. Pour $P_1$ l’étude du schéma a déjà été faite. Il s’agit donc d’étendre cette méthode pour les valeurs de $N > 1$.

Connaissances préalables

Ce stage fait principalement appel à des connaissances en méthodes numériques pour la résolution d’EDP et plus particulierement sur la résolution numérique d’équations hyperboliques , ainsi qu’à une pratique du langage C/C++. L’étude numérique ce fera dans une plateforme de calcul scientifique C++ de la DAM, DIF dédiée à la résolution de problèmes hyperboliques multidimensionnels sur maillages quelconques (Plateforme PUGS développée par Stéphane Del Pino, chercheur au CEA, DAM, DIF).

Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur et/ou master Recherche/ Pro, spécialité mathématiques appliquées*.

Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.

Durée du stage : idéalement 6 mois.

Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.

Contact : Christophe Buet (christophe.buet@cea.fr) et Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr).