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Elaboration d’un module de magnéto-hydrodynamique résistive avec terme de champ magnétique auto-généré dans un code 3D massivement parallèle
Contexte
Dans le cadre du Programme Simulation du CEA/DAM, il est nécessaire de bien décrire le comportement hydrodynamique des plasmas créés par des lasers très énergétiques. Cette problématique est liée à l’installation laser mégajoule du CEA qui permet de porter la matière à des conditions extrêmes de température et de pression. En effet, lorsqu’une cible est irradiée par des lasers énergétiques, leur énergie est très rapidement absorbée par la matière, qui passe à l’état de plasma. Par conduction thermique électronique, cette source d’énergie est ensuite diffusée. Cette phénoménologie est assez bien connue, mais se révèle très complexe dans ce cadre précis car les gradients de température induits par le dépôt d’énergie laser mettent en défaut les théories classiques du transport. Des effets non locaux se produisent, modifiant de façon conséquente les profils de température et de densité. De plus, la présence de gradients croisés de température et de densité génère des champs magnétiques relativement importants qui vont aussi influer sur la conduction thermique. Une modélisation correcte de l’interaction laser-plasma nécessite donc le couplage d’un modèle de transport électronique non local avec une description magnétohydrodynamique du plasma. Cette thématique est actuellement en plein essor avec l’apparition de nouveaux modèles pour la conduction thermique électronique non locale et de nouvelles expressions pour les coefficients de transport. Leur couplage reste un domaine de recherche très actif aussi bien du côté de la modélisation physique que numérique.
Objectif
Dans le cadre de ce travail postdoctoral, nous cherchons à élaborer une modélisation cohérente du transport électronique en présence de champ magnétique auto-généré ou imposé. Pour ce faire, un code de propagation laser 3D couplé à un module de magnétohydrodynamique et à un module de conduction thermique sera utilisé. Le module de magnétohydrodynamique actuel est basé sur un modèle de magnétohydrodynamique idéale qui sera complété avec les termes résistifs manquants. Les études portent à la fois sur l’implémentation de modèles dans un environnement multi-physique, sa stabilité numérique et les performances. Les aspects de conductivité thermique non locale seront abordés dans un second temps. L’application à des expériences d’interaction laser-plasma sera aussi abordée.
[1] M. Wolff, S. Jaouen, & L.-M. Imbert-Gérard (2011). Conservative numerical methods for a two-temperature resistive MHD model with self-generated magnetic field term. Esaim: Proceedings, 32, 195-210.
Lieu du postdoctorat : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Contact : Stéphane Jaouen (stephane.jaouen@cea.fr) et Pascal Loiseau (pascal.loiseau@cea.fr).
Schéma implicite pour l’hydrodynamique compressible en coordonnées eulériennes
La prédiction d’écoulements multi-matériaux est au cœur des missions du CEA. Pour des raisons évidentes de robustesse, le référentiel eulérien (maillage fixe) est en général privilégié.
Le CEA s’intéresse à des méthodes d’intégration implicites pour l’hydrodynamique compressible coordonnées eulériennes. Ces méthodes sont en particulier bien adaptées au calcul d’écoulements stationnaires. Ce sont également de bons candidats pour la capture de solutions « tous régimes ». En effet il est indispensable d’impliciter au moins partiellement les équations pour capturer la limite incompressible de la dynamique des gaz.
Nous avons récemment développé au CEA,DAM un schéma numérique lagrangien implicite [1] qui est inconditionnellement stable. Cette méthode est une variante implicite du solveur acoustique, un solveur de Riemann approché [2, 3].
L’objectif de ce stage est d’adapter le schéma [1] au référentiel eulerien en dimension 1. On considérera d’abord une approche lagrange-projection, la phase de projection étant implicitée. On adaptera ensuite ce travail pour obtenir un schéma eulérien direct. L’extension à la dimension 2 d’espace et la montée à l’ordre 2 pourront être envisagées.
[1] A. Plessier, S. Del Pino and B. Després. Implicit discretization of Lagrangian gas dynamics. submitted, 2022.
[2] S. K. Godunov. Difference methods of solving equations of gas dynamics. Izd-vo Novosibirsk, un-ta, , 1962.
[3] E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1999.
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : S. Del Pino (stephane.delpino@cea.fr), E. Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).
Accélération de la convergence de suites numériques
Lors de la résolution d’un problème numérique à l’aide d’une méthode itérative, on cherche à générer une suite $(S_n)_{n \geq 0}$ qui converge vers la solution du problème lorsque n tend vers l’infini.
Le principe d’une méthode d’accéleration de la convergence consiste à transformer la suite $(S_n)_{n \geq 0}$ en une suite $(V_n)_{n \geq 0}$ de même nature, mais qui converge plus vite vers la solution $S$ de notre problème. L’intérêt des méthodes d’accélération de la convergence dépendra de la vitesse avec laquelle la suite initiale converge. Si $(S_n)_{n \geq 0}$ converge lentement, le gain en terme de calcul et donc en temps de calcul peut être appréciable.
But du stage Le stage se découpera en plusieurs étapes :
- Programmer l’\(\varepsilon\)-algorithme (version scalaire) pour l’appliquer à des suites générées par des méthodes de point fixe (méthode de Newton, méthode de dichotomie,…).
- À partir de la version scalaire, programmer l’\(\varepsilon\)-algorithme pour résoudre une équation non linéaire \(F(X) = 0\) où \(F : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\), et l’appliquer à des exemples sur \(\mathbb{R}^3\).
- En posant \(u(x)\) pour inconnue, on cherche à résoudre l’équation non linéaire $$\frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} = g(x) \text{ avec } u(0)=u(1)=0$$ – Chercher ou écrire un programme qui calcule une approximation de la solution de cette équation pour un maillage donné. On se contentera de \(n\) mailles de \(\Delta x\) constant. C’est donc une généralisation de \(\mathbb{R}^3\) à \(\mathbb{R}^n\). – Utiliser l’\(\varepsilon\)-algorithme pour accélérer la résolution de l’étape non linéaire. – Généraliser au non stationnaire (l’inconnue est cette fois \(u(t,x)\)) $$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} = g(x) \text{ avec } u(0)=u(1)=0$$ – Application aux équations de diffusion non linéaire.
- Suivant l’avancée du stage : généraliser à la dimension 2 $$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 F(u)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G(u)}{\partial y^2}= g(x,y)$$
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 4 à 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : Mohamed Khelifi (mohamed.khelifi@cea.fr).
Extension à l’ordre 2 d’un schéma implicite pour l’hydrodynamique compressible en coordonnées lagrangiennes
La prédiction d’écoulements multi-matériaux est au cœur des missions du CEA. Pour répondre à ces besoins, des méthodes numériques lagrangiennes pour l’hydrodynamique compressible sont développées. Elles garantissent par construction que les interfaces des matériaux s’identifient à des lignes de maillage. Ainsi, elles permettent d’éviter le recours à des modèles de mélange et sont généralement plus précises que leurs équivalents eulériennes. Ces méthodes, ont été conçues dans le cadre de la dynamique rapide (fortement compressible).
Pour pouvoir adapter ces méthodes à des régimes faiblement compressibles, nous avons ré- cemment développé au CEA DAM un schéma numérique lagrangien implicite [1] qui est incon- ditionnellement stable. Ce schéma est une variante implicite du solveur acoustique, un solveur de Riemann approché [2, 3].
Ce schéma est d’ordre 1 en temps, ce qui réduit fortement sa précision. D’une part, à pas de temps fixé, l’erreur d’approximation en temps des schémas implicites est plus grande que celle des schémas explicites. D’autre part, cette erreur est proportionnelle au pas de temps, que l’on souhaite choisir très grand pour profiter de la stabilité inconditionnelle. En conséquence, le défaut de précision de la méthode est largement dominé par l’erreur d’intégration temporelle, rapportée à l’erreur d’approximation en espace.
L’objectif de ce stage est donc de proposer, d’analyser, de programmer et de tester une ou plusieurs techniques de montée en ordre en temps pour le schéma [1] en dimension 1. Dans un second temps, on pourra s’intéresser aux bénéfices d’une amélioration de la précision en espace, et en dimensions supérieures.
[1] A. Plessier, S. Del Pino and B. Després. Implicit discretization of Lagrangian gas dynamics. sub- mitted, 2022.
[2] S. K. Godunov. Difference methods of solving equations of gas dynamics. Izd-vo Novosibirsk, un-ta, 1962.
[3] E. F. Toro. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1999.
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : S. Del Pino (stephane.delpino@cea.fr), E. Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).
Couplage spatial et temporel de solveurs volumes finis : application au couplage fluide / structure.
Contexte
Dans le cadre de ses activités de lutte contre la prolifération nucléaire et le terrorisme, le CEA s’intéresse à l’effet d’ondes de souffle sur des structures déformables. On peut penser à titre d’exemple à l’estimation de la tenue résiduelle d’une construction soumise à une charge explosive. Le recours à la simulation de ce type de phénomènes est fréquent. Elle soulève de nombreux problèmes numériques car elle implique de faire cohabiter différentes échelles d’espaces et de temps [1], qui plus est dans un contexte de calcul haute performance (High Performance Computing). En effet, la vitesse de propagation des ondes varie fortement dans les matériaux impliqués (par exemple acier, bétons, air, …) et la taille des différents constituants à modéliser est variée (par exemple habitations, murs, vitres, portes, treillis métalliques, …). Dans l’optique d’améliorer ce type de modélisation, il s’agira dans ce stage d’analyser, d’implémenter et d’évaluer numériquement une approche partitionnée [2]. Elle consiste à découper la zone de simulation en plusieurs morceaux (fluide, solide(s)…) afin d’adapter la stratégie de résolution à la physique locale rencontrée (celle qui agit dans le morceau en question). Ainsi, dans ce type d’approche, chaque zone est résolue sur son domaine de calcul propre avec éventuellement un code de calcul spécifique. Le couplage s’effectue à travers l’interface avec les voisins de la zone considérée. Cette stratégie est alternative à la méthode monolithique pour laquelle un modèle unique s’applique à l’ensemble du domaine de calcul. L’approche partitionnée permet a priori d’optimiser les méthodes numériques utilisées pour résoudre chaque problème local.
Objectifs
Le candidat analysera et mettra en oeuvre une stratégie de couplage entre la dynamique des gaz (équations d’Euler pour la modélisation du souffle) et des modèles variés (Euler, Navier-Stokes, élasticité) en 2D. Il étudiera la possibilité d’impliciter l’intégration en temps dans les domaines où le pas de temps est le plus contraint et étudiera l’éventualité d’un pas de temps local (par zone). Il analysera les propriétés mathématiques de la méthode numérique ainsi construite. Il la mettra en œuvre en dimension deux dans le cadre d’un couplage de codes de calcul parallèle écrit en C++.
[1] Gravouil, A. and Combescure, A. (2001). Multi-time-step explicit–implicit method for non-linear structural dynamics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50(1) :199–225.
[2] Park, K. and Felippa, C. A. (1983). Partitioned analysis of coupled systems.
Formation
- Connaissances en programmation requises (si possible C/C++)
- Connaissances en méthode de résolution approchées (volumes finis, éléments finis, …)
- Connaissances en mathématiques appliquées, en particulier EDP (équations aux dérivées partielles**
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur ou césure, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : Teddy Chantrait (teddy.chantrait@cea.fr)
Solveur volumes finis DDFV pour l’élasticité linéaire instationnaire sur maillage quelconque
Contexte
L’interaction fluide-structure motive le développement de méthodes numériques dans de nombreux domaines d’application : la simulation de la résistance au vent d’un pont, l’écoulement du sang dans les artères, ou le calcul de la portance d’un avion ne sont que quelques exemples. Le modèle de l’élasticité linéaire permet de prédire le comportement des matériaux soumis à un chargement, dans la limite des faibles déformations. Il est généralement résolu par des méthodes éléments-finis [1]. La méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume, [2-4]) s’est avérée bien adaptée à la résolution d’équa- tions aux dérivées partielles provenant de domaines très variés de la physique sur des maillages quelconques. Elle a été appliquée avec succès à des problèmes d’élasticité linéaire stationnaires [5].
Le CEA s’intéresse à la réponse des structures à des solicitations instationnaires (acoustique, chocs,…). Dans ce cadre, nous souhaitons étudier la faisabilité d’un solveur pour ce problème, basé sur la méthode DDFV pour la discrétisation en espace.
Objectifs
Après avoir pris connaissance de la méthode DDFV, le candidat proposera une solution pour l’intégration temporelle. Il analysera les propriétés mathématiques de la méthode numérique ainsi construite. Il la mettra en œuvre (en dimension deux dans un premier temps) dans le cadre d’un logiciel nouveau de calcul parallèle en C++ (PUGS). Il proposera ensuite des extensions de cette méthode, par exemple au 3D.
[1] Oñate, E. (2013). Structural analysis with the finite element method. Linear statics : volume 2 : beams, plates and shells. Springer Science & Business Media. [2] Hermeline, F. (2000). A finite volume method for the approximation of diffusion operators on distorted meshes. J. Comput. Phys., 160(2) :481–499. [3] Hermeline, F. (2003). Approximation of diffusion operators with discontinuous tensor coeffi- cients on distorted meshes. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 192(16-18) :1939–1959. [4] Hermeline, F. (2007). Approximation of 2D and 3D diffusion operators with variable full tensor coefficients on arbitrary meshes. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 196(21-24) :2497–2526. [5] Martin, B. (2012). Élaboration de solveurs volumes finis 2D/3D pour résoudre le problème de l’élasticité linéaire. PhD thesis, École normale supérieure de Cachan-ENS Cachan.
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur et/ou master Recherche/ Pro, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : Emmanuel Labourasse (emmanuel.labourasse@cea.fr).
Méthode Monte-Carlo d’ordre élevé pour le transport de particules
Les méthodes Monte-Carlo constituent une famille de méthodes numériques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles utilisant le tirage de nombres aléatoires. Au CEA, nous nous intéressons depuis de nombreuses années à l’utilisation de ces méthodes pour la simulation du transport de particules (équation de Boltzmann). Dans le cadre de ce stage, nous nous intéresserons plus particulièrement au problème de transport des photons où la méthode IMC [1] est largement utilisée. Dans sa version initiale, cette méthode est basée sur des approximations d’ordre un en temps et en espace. Nous souhaitons étudier les possibilités d’augmenter la précision de cette méthode en proposant des approximations d’ordre plus élevé en temps et en espace. L’étude se basera par exemple sur les approches abordées dans [2].
L’objectif du stage est de construire le schéma numérique, d’en étudier les propriétés et de développer la méthode dans un code d’étude (C/C++) afin d’en mesurer l’efficacité.
[1] J.A. Fleck et J.D. Cummings, An Implicit Monte Carlo Scheme for Calculating Time and Frequency Dependent Nonlinear Radiation Transport, Journal of Computational Physics, 1971.
[2] R.P. Smedley-Stevenson, R.G. McClarren, Asymptotic diffusion limit of cell temperature discretisation schemes for thermal radiation transport, Journal of Computational Physics, 2015.
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur et/ou master Recherche/ Pro, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : 4 à 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : Jérôme Métral (jerome.metral@cea.fr) , Xavier Valentin (xavier.valentin@cea.fr).
Construction, analyse et développement d’un schéma numérique ”asymptotic-preserving” pour la simulation 2D sur maillages quelconques d’un modèle aux moments de l’équation de transport des photons
L’objectif de ce stage est la mise au point d’un schéma de type Volumes Finis en dimension 2 sur un maillage quelconque pour un système hyperbolique de lois de conservation approchant l’équation de transport des photons. Cette approximation, appelée modèle PN , est pour la variable vitesse basée sur un développement tronqué à l’ordre N de la solution sur la base des harmoniques sphériques et N est le nombre de sous familles d’harmoniques sphériques choisies. Le schéma sera du type Volumes Finis avec un solveur de Riemann variationnel permettant suivant la formule de quadrature de retrouver un pur solveur nodal soit le solveur classique de Riemann par les faces. Un tel schéma permet d’être ”Asymptotic-Preserving” (AP), c’est d̀ire permet de capturer sur maillage grossier et quelconque la limite de diffusion de systèmes de lois de conservation avec terme source raide. Pour $P_1$ l’étude du schéma a déjà été faite. Il s’agit donc d’étendre cette méthode pour les valeurs de $N > 1$.
Connaissances préalables
Ce stage fait principalement appel à des connaissances en méthodes numériques pour la résolution d’EDP et plus particulierement sur la résolution numérique d’équations hyperboliques , ainsi qu’à une pratique du langage C/C++. L’étude numérique ce fera dans une plateforme de calcul scientifique C++ de la DAM, DIF dédiée à la résolution de problèmes hyperboliques multidimensionnels sur maillages quelconques (Plateforme PUGS développée par Stéphane Del Pino, chercheur au CEA, DAM, DIF).
Type de stage : dernière année d’école d’ingenieur et/ou master Recherche/ Pro, spécialité mathématiques appliquées*.
Lieu du stage : Centre DAM Île-de-France, à Bruyères-le-Châtel (Essonne), desservi par des cars privés et des lignes régulières.
Durée du stage : idéalement 6 mois.
Gratification : selon formation, possibilité d’indemnité de logement & de fin de stage.
Contact : Christophe Buet (christophe.buet@cea.fr) et Stéphane Del Pino (stephane.delpino@cea.fr).